טנזור התמד – Engineer

טנזור התמד

מתוך Engineer

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

טנזור ההתמד (טנזור האינרציה) הוא דרך נוחה וקצרה להציג את מומנטי ההתמד של הגוף.

תוכן עניינים

טנזור התמד

הגדל

טנזור ההתמד מורכב מרכיבים של מומנטי ההתמד של המסה ומרכיבים של מכפלת התמד של המסה.

בכתיבה זו, נוח לחשב את התנע הזוויתי והאנרגיה הקינטית של הגוף:

התנע הזוויתי נתון על ידי \ \vec M = I\vec\omega, כאשר \ \vec\omega היא המהירות הזוויתית והכפל הוא כפל מטריצות רגיל.
האנרגיה הקינטית נתונן על ידי \ E_k = \frac{1}{2} \, \vec \omega^t I \vec \omega, וגם כאן הכפל הוא כפל מטריצות רגיל. כלומר, האנרגיה הקינטית היא חצי מהתוצאה המתקבלת על ידי הצבת \ \vec \omega בתבנית הריבועית המוגדרת על ידי \ I.

טנזור ההתמד הוא מטריצה סימטרית, ולכן ניתן ללכסן אותו על ידי מערכת צירים אורתוגונלית. זוהי עובדה חשובה בעלת משמעות פיזיקלית מעניינת - לכל גוף תלת מימדי ניתן לבחור 3 צירים ניצבים שיהוו עבורו צירים ראשיים.

כיוון שהתנע הזוויתי מתקבל ממכפלת טנזור האינרציה במהירות הזויתית, מתקבלת תופעה מפתיעה - התנע הזוויתי לא חייב להיות מקביל למהירות הזוויתית. תופעה זו גורמת לכך שגופים המסתובבים באופן חופשי, יכולים לבצע תנועה מסוכבת למדי. אם, לדוגמא, נזרוק עט באוויר כך שהוא מסתובב בערך סביב צירו, נגלה כי קצוות העט "מציירות" באוויר מעגלים קטנים. תופעה זו מתקבל כיוון שחוק שימור התנע דורש כי התנע הזוויתי ישאר קבוע. אם המהירות הזוויתית אינה מקבילה לתנע הזוויתי, מוכרח להתקיים שווקטור המהירות הזוויתי יקיף את ווקטור התנע הזוויתי במעגלים. תופעה זו נקראת נקיפה (פרצסיה).

הגדרה

טנזור ההתמד הוא:

\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix}

מומנטי התמד של המסה ביחס לציר נתון:

\ I_{xx} - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר \ X
\ I_{yy} - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר \ Y
\ I_{zz} - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר \ Z


מכפלת התמד של המסה ביחס לזוג צירים נתון:

  • \ I_{xy} - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים \ X, Y
  • \ I_{xz} - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים \ X, Z
  • \ I_{yz} - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים \ Y, Z
ומתקיים \ I_{xy}=I_{yx},  I_{yz}=I_{zy},  I_{xz}=I_{zx}

הרכיבים של טנזור ההתמד כסכומים

I_{xx} \ = \  \sum_{i=1}^{N} m_{i} (y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!
I_{yy} \ = \  \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!
I_{zz} \ = \  \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\!
I_{xy} = I_{yx} \ = \  -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} y_{i}\,\!
I_{xz} = I_{zx} \ = \  -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} z_{i}\,\!
I_{yz} = I_{zy} \ = \  -\sum_{i=1}^{N} m_{i} y_{i} z_{i}\,\!

הרכיבים של טנזור ההתמד כאינטגרלים

כאשר מדובר בגוף רציף שלא ניתן לראות אותו כמורכב מיחידות בדידות קטננות, הגדרת רכיבי טנזור ההתמד נעשית באמצעות אינטגרלים:

I_{xx} \ = \ \iiint_V (y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\rho(v)\,dv  \!
I_{yy} \ = \ \iiint_V (x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\rho(v)\,dv  \!
I_{zz} \ = \ \iiint_V (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\rho(v)\,dv  \!
I_{xy} = I_{yx} \ = \ -\iiint_V xy\,\rho(v)\,dv  \!
I_{yz} = I_{zx}  \ = \ -\iiint_V xz\,\rho(v)\,dv  \!
I_{yz} = I_{zy}  \ = \ -\iiint_V yz\,\rho(v)\,dv  \!

כאשר:

דוגמאות

קוביה מלאה

הגדל
\ a, b, c - מיימדי הקוביה
\ \rho - צפיפות חומר הקוביה
\ V - נפח הקוביה
\ I - טנזור ההתמד
\mathbf{I} = \begin{bmatrix}  \frac{\rho V}{3} (b^2 +a^2) & \frac{\rho V}{4} cb & \frac{\rho V}{4} ac \\ \frac{\rho V}{4} cb & \frac{\rho V}{3} (c^2 +a^2) & \frac{\rho V}{4} ab \\ \frac{\rho V}{4} ac & \frac{\rho V}{4} ab & \frac{\rho V}{3} (b^2 +c^2) \end{bmatrix}

כדור מלא

הגדל
\ R - רדיוס הכדור
\ \rho - צפיפות חומר הקוביה
\ I - טנזור ההתמד
\mathbf{I} = \begin{bmatrix}  \frac{2 \pi \rho R^5}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi \rho R^5}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2 \pi \rho R^5}{5} \end{bmatrix}

קישורים חיצוניים

מומנט האינרציה כטנזור, באנגלית
טנזור האינרציה באנגלית
מומנט האינרציה, באנגלית

לקריאה נוספת

  • Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983.
  • Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970

מאמץ (הנדסה)
מאמצים: מאמץ גזירה - מאמץ כפיפה - מאמץ לחיצה - מאמץ מתיחה - מאמץ פיתול - מאמץ קריסה
נושאי עזר: מומנט כפיפה - מומנט כוח - מודול האלסטיות - אלסטיות - חוק הוק - קבועי לאמה - מקדם פואסון - מודול הגזירה
שטחים: שטח - מומנט התמד - מומנט ההתמד של השטח - מומנט התמד פולרי של השטח - משפט שטיינר - טנזור התמד
נושאים משלימים: טנזור מאמצים - מאמצים ראשיים - מעגל מור - היפותזות חוזק - שיטות אנרגיה - חוקי קסטיליאנו



כלים אישיים

sl
דומיין בעברית  דומיין  דומין  תוכנה לניהול  קשרי לקוחות  CRM, ניהול קשרי לקוחות  דומין בעברית  פורומים  ספרדית  גיבוי